Упр.155 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны окружность, точка $$A$$, не лежащая на ней, и отрезок $$PQ$$. Постройте точку $$M$$ на окружности так, чтобы $$AM=PQ$$. Всегда ли задача имеет решение?
2. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$45^\circ$$; б) $$22^\circ30’$$.

Рассмотрим окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$r$$. Точка $$A$$ не лежит на окружности, а длина отрезка $$PQ$$ задана.

Нужно построить на окружности точку $$M$$ так, чтобы $$AM=PQ.$$

Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$PQ.$$

Точки пересечения этой окружности с данной окружностью и будут искомыми точками $$M$$.

Возможны три случая:

1. окружности пересекаются в двух точках — тогда задача имеет два решения;
2. окружности касаются — тогда задача имеет одно решение;
3. окружности не пересекаются — тогда задача не имеет решений.

Значит, задача не всегда имеет решение: всё зависит от взаимного расположения окружности с центром $$A$$ и данной окружности.

Ответ

Построить окружность с центром $$A$$ и радиусом $$PQ$$; точки её пересечения с данной окружностью — искомые точки $$M$$. Решений может быть $$2$$, $$1$$ или $$0$$.