Упр.154 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$, точка $$B$$, не лежащая на ней, и отрезок $$PQ$$. Постройте точку $$M$$ на прямой $$a$$ так, чтобы $$BM=PQ$$. Всегда ли задача имеет решение?
2. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте: а) биссектрису $$AK$$; б) медиану $$BM$$; в) высоту $$CH$$ треугольника.

Построим окружность с центром в точке B и радиусом, равным отрезку $$PQ$$. Тогда все точки пересечения этой окружности с прямой $$a$$ будут искомыми, так как для любой такой точки $$M$$ выполняется $$BM=PQ$$.

Возможны три случая:

1. окружность пересекает прямую $$a$$ в двух точках $$M$$ и $$M_1$$ — тогда задача имеет два решения;
2. окружность касается прямой $$a$$ — тогда задача имеет одно решение;
3. окружность не пересекает прямую $$a$$ — тогда задача не имеет решения.

Следовательно, задача не всегда имеет решение.

Ответ

Построить окружность с центром в $$B$$ и радиусом $$PQ$$; точки её пересечения с прямой $$a$$ — искомые. Решение существует не всегда: если окружность и прямая $$a$$ не пересекаются, то решения нет.