Упр.153 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На прямой даны две точки $$A$$ и $$B$$. На продолжении луча $$BA$$ отложите отрезок $$BC$$ так, чтобы $$BC=2AB$$.
2. Даны прямая $$a$$ и точка $$M$$, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку $$M$$ и перпендикулярную к прямой $$a$$.

Построим окружность с центром в точке $$M$$ произвольного радиуса. Она пересечёт прямую $$a$$ в точках $$A$$ и $$B$$.

Затем построим две окружности: с центром в точке $$A$$ радиуса $$AM$$ и с центром в точке $$B$$ радиуса $$BM$$. Эти окружности пересекутся в точках $$M$$ и $$N$$.

Проведём прямую $$MN$$.

Докажем, что $$MN \perp a$$. Так как $$AM=BM$$, $$AM=AN$$ и $$BM=BN$$, то треугольники $$AMN$$ и $$BMN$$ равны по трём сторонам. Следовательно,

$$\angle AMN=\angle NMB.$$

Значит, прямая $$MN$$ делит угол $$AMB$$ пополам. Но треугольник $$AMB$$ равнобедренный, так как $$AM=BM$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$MN \perp AB.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$a$$, то $$AB$$ совпадает с прямой $$a$$. Следовательно,

$$MN \perp a.$$

Искомая прямая построена.