Упр.152 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$AOB$$.

Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OA=OB=OC$$ как радиусы одной окружности.

По условию $$\angle AOB=90^\circ$$. Поскольку точки $$B, O, C$$ лежат на одной прямой и $$BC$$ — диаметр, лучи $$OB$$ и $$OC$$ противоположны, значит

$$\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$AOC$$ и $$AOB$$ прямоугольные, у них:

$$AO$$ — общая сторона;
$$OC=OB$$;
$$\angle AOC=\angle AOB=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle AOC \cong \triangle AOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AC=AB.$$

2) Пусть дан тупой угол $$AOB$$. Нужно построить луч $$OX$$ так, чтобы $$\angle XOA=\angle XOB$$.

Построим биссектрису угла $$AOB$$. Для этого:

Проведём окружность с центром в точке $$O$$ произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла $$AOB$$ в точках $$M$$ и $$N$$.
Проведём окружности с центрами в точках $$M$$ и $$N$$ радиусом $$MN$$. Пусть они пересекутся в точке $$K$$.
Проведём луч $$OX$$ через точки $$O$$ и $$K$$.

Луч $$OX$$ является биссектрисой угла $$AOB$$, поэтому

$$\angle XOA=\angle XOB.$$

Так как угол $$AOB$$ тупой, его биссектриса делит его на два равных угла, каждый из которых меньше $$90^\circ$$. Значит, оба угла $$\angle XOA$$ и $$\angle XOB$$ — острые.