Упр.149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) угол BAD = угол BCD. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

1) Пусть $O$ — центр окружности. Так как $AB$ и $CD$ — диаметры, то $O$ — середина обоих отрезков, значит

$$AO=BO=CO=DO.$$

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $DOB$. У них

$$AO=BO,\quad OC=OD,$$

а углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ — вертикальные, значит равны. Следовательно,

$$\triangle AOC \cong \triangle DOB,$$

откуда

$$AC=BD.$$

2) Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$. Имеем

$$AO=BO,\quad OD=OC,$$

а также $\angle AOD=\angle COB$ как вертикальные углы. Тогда

$$\triangle AOD \cong \triangle COB,$$

следовательно,

$$AD=BC.$$

3) Теперь рассмотрим треугольники $ADB$ и $DCB$. В них

$$AD=CB,\quad DB=AC,\quad AB=CD$$

(так как $AB$ и $CD$ — диаметры). Значит,

$$\triangle ADB \cong \triangle DCB$$

по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны:

$$\angle BAD=\angle BCD.$$

4) Построение точки $M$ на прямой $a$ так, чтобы $BM=PQ$:

1. С центром в точке $B$ строим окружность радиуса $PQ$.

2. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ и будут искомыми точками $M$.

Если окружность пересекает прямую $a$ в двух точках, получаем две точки $M$ и $M_1$; если касается — одну точку; если не пересекает — решения нет.

Значит, задача не всегда имеет решение.

Ответ

а) $BD=AC$; б) $AD=BC$; в) $\angle BAD=\angle BCD$. Точку $M$ строят как точку пересечения прямой $a$ с окружностью с центром в $B$ и радиусом $PQ$. Решение существует не всегда.