Упр.149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды $$BD$$ и $$AC$$ равны; б) хорды $$AD$$ и $$BC$$ равны; в) $$\angle BAD = \angle BCD$$.
2. Даны прямая $$a$$, точка $$B$$, не лежащая на ней, и отрезок $$PQ$$. Постройте точку $$M$$ на прямой $$a$$ так, чтобы $$BM = PQ$$. Всегда ли задача имеет решение?

Пусть $$r=PQ.$$ Построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$r$$. Тогда искомые точки $$M$$ — это точки пересечения этой окружности с прямой $$a$$.

Возможны три случая:

1. прямая $$a$$ пересекает окружность в двух точках $$M$$ и $$M_1$$; тогда обе точки подходят, так как $$BM=BM_1=r=PQ$$;
2. прямая $$a$$ касается окружности; тогда существует единственная точка $$M$$, для которой $$BM=r=PQ$$;
3. прямая $$a$$ не имеет общих точек с окружностью; тогда решения нет.

Следовательно, задача имеет решение не всегда: оно существует только тогда, когда расстояние от точки $$B$$ до прямой $$a$$ не больше $$PQ$$.

Ответ

Построить окружность с центром в $$B$$ и радиусом $$PQ$$; точки пересечения этой окружности с прямой $$a$$ — искомые. Решение существует не всегда: если окружность и прямая $$a$$ не пересекаются, то решения нет.