Упр.145 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ медианы $$BM$$ и $$B_1M_1$$ равны, $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$.
- Отрезок $$MK$$ — диаметр окружности с центром $$O$$, а $$MP$$ и $$PK$$ — равные хорды этой окружности. Найдите угол $$POM$$.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. По условию $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, значит
$$AM=MC,\qquad A_1M_1=M_1C_1.$$
Так как $$AC=A_1C_1$$, то
$$AM=\frac{AC}{2},\qquad A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2},$$
следовательно, $$AM=A_1M_1$$.
Теперь имеем:
$$AB=A_1B_1,\qquad BM=B_1M_1,\qquad AM=A_1M_1.$$
Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам, откуда
$$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1.$$
Но точки $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, и точки $$A_1, M_1, C_1$$ тоже лежат на одной прямой, поэтому
$$\angle BAM=\angle BAC,\qquad \angle B_1A_1M_1=\angle B_1A_1C_1.$$
Следовательно, $$\angle A=\angle A_1$$.
Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ известны:
$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1.$$
Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ
$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$
