Упр.144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 76 $$AB=CD$$, $$AD=BC$$, $$BE$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а $$DF$$ — биссектриса угла $$ADC$$. Докажите, что: а) $$\angle ABE=\angle ADF$$; б) $$\triangle ABE=\triangle CDF$$.
- Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды $$BD$$ и $$AC$$ равны; б) хорды $$AD$$ и $$BC$$ равны; в) $$\angle BAD=\angle BCD$$.
Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры, то точки $$A,O,B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C,O,D$$ — на одной прямой. Кроме того, $$OA=OB=OC=OD$$ как радиусы окружности.
Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$DOB$$. В них:
$$OA=OB,$$
$$OC=OD,$$
$$\angle AOC=\angle BOD$$ как вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AC=BD$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. В них:
$$OA=OB,$$
$$OD=OC,$$
$$\angle AOD=\angle COB$$ как вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$, откуда $$AD=BC$$.
Осталось доказать равенство углов $$\angle BAD$$ и $$\angle BCD$$. Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$DCB$$:
$$AD=CB,$$
$$DB=AC,$$
$$AB=CD$$.
Значит, $$\triangle ADB \cong \triangle DCB$$ по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:
$$\angle BAD=\angle BCD.$$
Ответ: $$BD=AC,$$ $$AD=BC,$$ $$\angle BAD=\angle BCD.$$
