Упр.1431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пользуясь результатом задачи 909, применяя гомотетию, докажите, что для неравностороннего треугольника основания высот, середины сторон и середины отрезков высот, заключённых между вершинами треугольника и его ортоцентром, принадлежат одной окружности (окружности девяти точек). Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера, а радиус равен половине радиуса описанной окружности данного треугольника.

Воспользуемся результатом задачи 909. При гомотетии с центром в точке $$H$$ и коэффициентом $$k=\frac12$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ перейдут в основания высот треугольника $$ABC$$, точки $$A_2, B_2, C_2$$ — в середины его сторон, а точки $$A, B, C$$ — в середины отрезков $$AH, BH, CH$$.

Значит, все указанные точки лежат на одной окружности. Это и есть окружность девяти точек.

Так как при гомотетии все расстояния уменьшаются в $$2$$ раза, то радиус этой окружности равен половине радиуса описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, то есть на прямой, проходящей через ортоцентр $$H$$ и центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Таким образом, основания высот, середины сторон и середины отрезков высот, заключённых между вершинами треугольника и его ортоцентром, принадлежат одной окружности, центр которой лежит на прямой Эйлера, а радиус равен $$\frac12$$ радиуса описанной окружности.