Упр.1430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезок $$BD$$ — биссектриса треугольника $$\triangle ABC$$. Докажите, что $$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC$$.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$, и пусть прямая $$BD$$ пересекает её ещё в точке $$E$$.

Тогда по теореме о вписанном угле

$$\angle BCA=\frac12\overset{\frown}{BA}, \qquad \angle BEA=\frac12\overset{\frown}{BA},$$

значит, $$\angle BCA=\angle BEA$$.

Кроме того, точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle BCD=\angle BCA=\angle BEA.$$

А так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABD=\angle CBD.$$

Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ подобны по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{AB},$$

откуда

$$BD=\frac{AB\cdot BC}{BE}.$$

С другой стороны, для хорд, пересекающихся в точке $$D$$, имеем

$$BD\cdot DE=AD\cdot DC.$$

Так как $$BE=BD+DE$$, то

$$AD\cdot DC=BD\cdot(BE-BD)=BD\cdot BE-BD^2.$$

Подставим сюда $$BD\cdot BE=AB\cdot BC$$:

$$AD\cdot DC=AB\cdot BC-BD^2.$$

Следовательно,

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$