Упр.1430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1430. Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что BD^2=AB·BC-AD·DC.
Пусть окружность, описанная около треугольника $$ABC$$, вторично пересекает прямую $$BD$$ в точке $$E$$. Тогда точки $$B, D, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$A, B, C, E$$ — на одной окружности.
Для этой окружности имеем:
$$\angle BCA=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BA}, \qquad \angle BEA=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BA}.$$
Следовательно, $$\angle BCA=\angle BEA$$.
Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то
$$\angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle B.$$
Кроме того, точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$\angle BAD=\angle BAE,\qquad \angle BCD=\angle BEA.$$
Значит, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ подобны по двум углам. Отсюда
$$\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{AB}.$$
Обозначим этот общий коэффициент подобия через $$k$$. Тогда
$$BD=\frac{BC\cdot AB}{BE}.$$
Из подобия также получаем
$$AD\cdot CD=BD\cdot(BE-BD).$$
Действительно, так как $$B, D, E$$ лежат на одной прямой, то $$DE=BE-BD$$, а по теореме о степени точки для хорд $$AC$$ и $$BE$$:
$$BD\cdot DE=AD\cdot CD.$$
Тогда
$$AD\cdot CD=BD\cdot(BE-BD)=BD\cdot BE-BD^2.$$
С другой стороны, из подобия $$\triangle ABD \sim \triangle CBD$$ имеем
$$BD\cdot BE=AB\cdot BC.$$
Подставляя это в предыдущую формулу, получаем
$$AD\cdot CD=AB\cdot BC-BD^2.$$
Следовательно,
$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot CD.$$
Ответ
$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot CD$$
