Упр.1429 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дана окружность и точка А вне этой окружности. Через точку А провести секущую к окружности так, чтобы внешняя часть секущей была в 2 раза больше внутренней.

Пусть $$O$$ — центр данной окружности, а её радиус равен $$R$$. Требуется провести через точку $$A$$ секущую, у которой внешняя часть в 2 раза больше внутренней.

Обозначим точки пересечения секущей с окружностью через $$E$$ и $$F$$, причём $$A, E, F$$ лежат на одной прямой и $$E$$ ближе к точке $$A$$. Тогда нужно, чтобы

$$AE=2\cdot EF.$$

Следовательно,

$$AF=AE+EF=3\cdot EF,$$

то есть

$$AE:AF=2:3.$$

Построим точку $$B$$ на отрезке $$OA$$ так, чтобы

$$OB:OA=1:3.$$

Через точку $$B$$ проведём окружность радиуса $$\frac{2}{3}R$$. Точка её пересечения с данной окружностью обозначим через $$E$$. Тогда прямая $$AE$$ пересекает данную окружность ещё в точке $$F$$ и, по построению, выполняется

$$AE=2\cdot EF.$$

Значит, прямая $$AE$$ — искомая секущая.

Ответ: искомая секущая — $$AE$$.