Упр.1428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1428. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

Обозначим точки касания окружностей со сторонами угла: для первой окружности — $$M$$ и $$N$$, для второй — $$P$$ и $$Q$$. Пусть прямые $$MQ$$ и окружности пересекаются в точках $$M, E, F, Q$$, где $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения прямой $$MQ$$ с окружностями.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$OM=ON,\qquad OP=OQ,\qquad MP=NQ.$$

Рассмотрим первую окружность. По теореме о касательной и секущей для точки $$M$$:

$$MP^2=MF\cdot MQ.$$

Для второй окружности по теореме о касательной и секущей для точки $$Q$$:

$$QN^2=QE\cdot QM.$$

Так как $$MP=NQ$$, то

$$MF\cdot MQ=QE\cdot QM.$$

Следовательно,

$$MF=QE.$$

Но на прямой $$MQ$$ имеем

$$MF=ME+EF,\qquad QE=QF+EF.$$

Тогда из равенства $$MF=QE$$ следует:

$$ME+EF=QF+EF,$$

откуда

$$ME=QF.$$

Значит, окружности на прямой $$MQ$$ отсекают равные хорды.

Ответ

$$ME=FQ.$$