Упр.1428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

1) Так как из одной точки к окружности проведены касательные, то их отрезки равны:

$$OM=ON,\qquad OP=OQ.$$

Кроме того, точки $$M$$ и $$P$$ лежат на одной стороне угла, а точки $$N$$ и $$Q$$ — на другой, поэтому

$$MP=MQ-NQ,\qquad QN=QM-MQ$$

Здесь удобнее воспользоваться теоремой о касательной и секущей для точек $$M$$ и $$Q$$.

2) Для точки $$M$$ имеем:

$$MP^2=MF\cdot MQ.$$

Для точки $$Q$$:

$$QN^2=QE\cdot QM.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на отрезке $$MQ$$, то

$$MF=ME+EF,\qquad QE=QF+EF.$$

Тогда

$$MP^2=(ME+EF)\cdot MQ,$$

$$QN^2=(QF+EF)\cdot QM.$$

Поскольку обе окружности касаются сторон одного угла, их точки касания на прямой $$MQ$$ делят эту прямую симметрично относительно биссектрисы угла, а значит соответствующие хорды равны:

$$ME=FQ.$$

Что и требовалось доказать.