Упр.1425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) На отрезке n как на диаметре построим полуокружность;
2) Построим в ней треугольник BEF с катетом BF=m и гипотенузой EF;
3) На прямой BE отложим отрезок BA=a так, чтобы E принадлежит AB;
4) Через точку A проведем прямую параллельно прямой EF;
5) Отметим точку C на пересечении этой прямой и луча BF;
6) Отметим вершину D так, чтобы AD перпендикулярно AB и AD=BC.

Подробный ответ

Пусть $$EF=n$$. Построим на отрезке $$EF$$ как на диаметре полуокружность. Тогда для любой точки $$B$$ на этой полуокружности угол $$EBF$$ прямой, то есть $$\angle EBF=90^\circ$$.

На луче из точки $$B$$ отложим отрезок $$BF=m$$. Получим прямоугольный треугольник $$BEF$$ с гипотенузой $$EF=n$$ и катетом $$BF=m$$. Тогда второй катет равен

$$BE=\sqrt{n^2-m^2}.$$

На прямой $$BE$$ отложим отрезок $$BA=a$$ так, чтобы точка $$E$$ лежала между $$B$$ и $$A$$. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$EF$$. Эта прямая пересечёт луч $$BF$$ в точке $$C$$.

Так как $$AC \parallel EF$$, то треугольники $$ABC$$ и $$BEF$$ подобны. Следовательно,

$$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BE}.$$

Подставляя $$BF=m$$ и $$BE=\sqrt{n^2-m^2}$$, получаем

$$BC=\frac{am}{\sqrt{n^2-m^2}}.$$

Теперь через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AB$$, и на ней отложим отрезок $$AD=BC$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ является прямоугольником, так как $$AB \perp AD$$ и $$AB \parallel CD$$, $$BC \parallel AD$$.

Кроме того, по построению $$AB=a$$, а

$$\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{EF}=\frac{m}{n},$$

то есть $$BC:AC=m:n$$.