Упр.1425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны отрезки $$a$$, $$m$$, $$n$$ ($$m

Пусть на отрезке $$n$$ как на диаметре построена полуокружность. Тогда для любой точки $$E$$ на этой полуокружности и точки $$F$$ на диаметре треугольник $$BEF$$ прямоугольный, причём $$\angle BEF=90^\circ$$.

Построим в полуокружности треугольник $$BEF$$ так, чтобы $$BF=m$$, а $$EF$$ было гипотенузой. На прямой $$BE$$ отложим $$BA=a$$ так, чтобы точка $$E$$ лежала на отрезке $$AB$$. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$EF$$, и обозначим через $$C$$ её пересечение с лучом $$BF$$.

Так как $$AC \parallel EF$$, то треугольники $$ABC$$ и $$BEF$$ подобны. Поэтому

$$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BE}.$$

Из построения точки $$A$$ и подобия треугольников получаем нужное отношение

$$BC:AC = m:n.$$

Теперь через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AB$$, и на ней отложим $$AD=BC$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ имеет противоположные стороны попарно параллельны и один прямой угол, значит, это прямоугольник.

Следовательно, построен прямоугольник $$ABCD$$, для которого $$AB=a$$ и $$BC:AC=m:n$$.