Упр.1419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.

Пусть $$M$$ — одна из точек пересечения данных окружностей.

Построим окружность, симметричную первой окружности относительно точки $$M$$. Обозначим её центр через $$O_1’$$. Тогда точка $$M$$ остаётся неподвижной, а окружность $$O_1’$$ имеет тот же радиус, что и первая окружность.

Теперь отметим точку $$A$$ — одну из точек пересечения окружностей $$O_1’$$ и $$O_2$$.

Проведём прямую $$AM$$ и найдём её вторую точку пересечения с первой окружностью. Обозначим её через $$B$$.

Докажем, что $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Так как $$A$$ лежит на окружности $$O_1’$$, а $$O_1’$$ симметрична окружности $$O_1$$ относительно точки $$M$$, то точка $$B$$, симметричная точке $$A$$ относительно $$M$$, лежит на окружности $$O_1$$. Кроме того, точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$MA=MB$$, значит, $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

При этом $$A \in O_2$$ и $$B \in O_1$$, следовательно, отрезок $$AB$$ удовлетворяет условию задачи.

Построение:

1. Построить окружность, симметричную окружности $$O_1$$ относительно точки $$M$$.
2. Найти точку $$A$$ пересечения этой окружности с окружностью $$O_2$$.
3. Провести прямую $$AM$$ и отметить точку $$B$$ — вторую точку пересечения этой прямой с окружностью $$O_1$$.
4. Отрезок $$AB$$ — искомый.