Упр.1417 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.

Пусть требуется построить правильный треугольник $$ABC$$ так, чтобы $$A \in O_1,$$ $$B \in O_2,$$ а высота $$CH$$ лежала на прямой $$a$$.

Используем свойство правильного треугольника: его высота является также медианой, поэтому точка $$H$$ — середина стороны $$AB$$, а прямая $$CH$$ перпендикулярна $$AB$$.

Построим окружность $$O_2’$$, симметричную окружности $$O_2$$ относительно прямой $$a$$. Тогда точка $$B \in O_2$$ перейдёт в точку $$B’ \in O_2’$$, а условие $$CH \in a$$ позволит свести построение к выбору точки $$A$$ на пересечении окружностей.

1. Построим окружность $$O_2’$$, симметричную окружности $$O_2$$ относительно прямой $$a$$.
2. Отметим одну из точек пересечения окружностей $$O_1$$ и $$O_2’$$ — точку $$A$$.
3. Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $$a$$ через $$H$$.
4. На прямой $$AH$$ отложим отрезок $$HB = AH$$.
5. Построим окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AB$$. Точку $$C$$ возьмём в пересечении этой окружности с прямой $$a$$.

Тогда $$CH \subset a$$, а так как $$H$$ — середина $$AB$$ и $$AH \perp a$$, то $$CH \perp AB$$. Следовательно, $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$. Кроме того, $$AB = AC$$ по построению, а поскольку $$H$$ — середина $$AB$$ и $$CH \perp AB$$, то точка $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$. Значит, $$CA = CB = AB$$, и треугольник $$ABC$$ — правильный.

Таким образом, искомый треугольник построен.

Ответ

Построение выполнено по указанным шагам.