Упр.1416 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Подробный ответ

Пусть $$O=AC\cap BD$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — центр симметрии этого параллелограмма.

Так как $$E\in AB$$ и $$AB\parallel CD$$, то при центральной симметрии относительно точки $$O$$ сторона $$AB$$ переходит в $$CD$$. Значит, точка $$E$$ переходит в некоторую точку $$G$$, лежащую на $$CD$$, а точка $$O$$ является серединой отрезка $$EG$$.

Аналогично, поскольку $$F\in BC$$ и $$BC\parallel DA$$, при симметрии относительно $$O$$ точка $$F$$ переходит в точку $$H$$, лежащую на $$DA$$, и $$O$$ является серединой отрезка $$FH$$.

Следовательно, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ параллелограмм $$EFGH$$ переходит сам в себя. Значит, $$O$$ — центр симметрии параллелограмма $$EFGH$$, то есть точка пересечения его диагоналей.

Итак, точки пересечения диагоналей данных параллелограммов совпадают.