Упр.1416 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Подробный ответ

Пусть $$O=AC\cap BD$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ является центром симметрии этого параллелограмма.

При центральной симметрии относительно точки $$O$$ имеем:

$$A \leftrightarrow C,\qquad B \leftrightarrow D.$$

Так как $$E\in AB$$, то при этой симметрии сторона $$AB$$ переходит в сторону $$CD$$, значит точка $$E$$ переходит в некоторую точку $$G$$, лежащую на $$CD$$. Следовательно, $$O$$ — середина отрезка $$EG$$.

Аналогично, так как $$F\in BC$$, то сторона $$BC$$ переходит в сторону $$DA$$, значит точка $$F$$ переходит в некоторую точку $$H$$, лежащую на $$DA$$. Следовательно, $$O$$ — середина отрезка $$FH$$.

Итак, в четырёхугольнике $$EFGH$$ диагонали $$EG$$ и $$FH$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм, а $$O$$ является его центром симметрии, то есть точкой пересечения диагоналей.

Следовательно, точки пересечения диагоналей данных параллелограммов совпадают.