Упр.1415 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Подробный ответ

Пусть в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle A-\angle B=\angle A_1-\angle B_1,$$

причём $$AC<BC$$ и $$A_1C_1<B_1C_1.$$

Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

Пусть $$D$$ — середина отрезка $$AB$$, а через точку $$D$$ проведём перпендикуляр $$DE\perp AB$$, где $$E\in BC.$$ Тогда $$DE$$ — медиана и высота треугольника $$ABE$$, значит, $$BE=AE.$$

Так как $$D\in AB$$ и $$DE\perp AB,$$ то в треугольнике $$ABE$$ углы при основании равны, поэтому

$$\angle BAE=\angle ABE=\angle B,$$

а значит,

$$\angle EAC=\angle A-\angle B.$$

Аналогично во втором треугольнике получаем:

$$\angle E_1A_1C_1=\angle A_1-\angle B_1.$$

По условию

$$\angle EAC=\angle E_1A_1C_1.$$

Кроме того,

$$AE+EC=AC=A_1C_1=A_1E_1+E_1C_1.$$

Совместим отрезки $$AC$$ и $$A_1C_1$$ так, чтобы совпали точки $$A$$ и $$A_1,$$ а лучи $$AC$$ и $$A_1C_1$$ лежали на одной прямой. Тогда при равных углах $$\angle EAC=\angle E_1A_1C_1$$ и равенстве сумм

$$AE+EC=A_1E_1+E_1C_1$$

получаем

$$AE=A_1E_1,\quad EC=E_1C_1.$$

Следовательно,

$$\triangle AEC \cong \triangle A_1E_1C_1$$

по трём сторонам. Тогда соответствующие продолжения сторон также совпадают, то есть

$$BC=B_1C_1.$$

При этом точки $$B$$ и $$B_1$$ совпадают, а значит, совпадают и треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1.$$

Итак,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$