Упр.1414 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.

Подробный ответ

Пусть даны трапеции $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых $$AD \parallel BC$$, $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, а также

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CD=C_1D_1,\quad AD=A_1D_1.$$

Докажем, что трапеции равны.

Проведём в трапеции $$ABCD$$ отрезок $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$. Аналогично в трапеции $$A_1B_1C_1D_1$$ проведём $$C_1E_1 \parallel A_1B_1$$, где $$E_1 \in A_1D_1$$.

Тогда четырёхугольники $$ABCE$$ и $$A_1B_1C_1E_1$$ — параллелограммы, значит

$$AB=CE,\quad BC=AE,$$

$$A_1B_1=C_1E_1,\quad B_1C_1=A_1E_1.$$

Из условий получаем

$$CE=C_1E_1,\quad AE=A_1E_1.$$

Кроме того,

$$ED=AD-AE,\quad E_1D_1=A_1D_1-A_1E_1.$$

Так как $$AD=A_1D_1$$ и $$AE=A_1E_1$$, то

$$ED=E_1D_1.$$

Следовательно, треугольники $$ECD$$ и $$E_1C_1D_1$$ равны по трём сторонам:

$$CE=C_1E_1,\quad CD=C_1D_1,\quad ED=E_1D_1.$$

Значит, при некотором наложении точки $$C$$ и $$D$$ совместятся соответственно с точками $$C_1$$ и $$D_1$$. Тогда совместятся и прямые $$AD$$ и $$A_1D_1$$, а также прямые, проходящие через $$C$$ и $$C_1$$ параллельно этим основаниям. Поэтому вершина $$B$$ совместится с вершиной $$B_1$$, а вершина $$A$$ — с вершиной $$A_1$$.

Итак, при наложении все соответствующие вершины трапеций совпадают, значит

$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$

Ответ: трапеции равны.