Упр.1414 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.

Подробный ответ

Пусть даны трапеции $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, причём $$AD \parallel BC$$, $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, а также

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CD=C_1D_1,\quad AD=A_1D_1.$$

Докажем, что трапеции равны.

Проведём отрезки $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$, и $$C_1E_1 \parallel A_1B_1$$, где $$E_1 \in A_1D_1$$.

Тогда четырёхугольники $$ABCE$$ и $$A_1B_1C_1E_1$$ — параллелограммы, поэтому

$$AB=CE,\quad BC=AE,$$

$$A_1B_1=C_1E_1,\quad B_1C_1=A_1E_1.$$

Из условий получаем:

$$CE=AB=A_1B_1=C_1E_1,$$

$$AE=BC=B_1C_1=A_1E_1.$$

Кроме того, по условию $$CD=C_1D_1$$, а также

$$ED=AD-AE=A_1D_1-A_1E_1=E_1D_1.$$

Следовательно, треугольники $$ECD$$ и $$E_1C_1D_1$$ равны по трём сторонам:

$$CE=C_1E_1,\quad CD=C_1D_1,\quad ED=E_1D_1.$$

Значит, существует наложение, при котором $$E \mapsto E_1$$, $$C \mapsto C_1$$, $$D \mapsto D_1$$. Тогда совпадают и точки $$A$$ и $$A_1$$, так как через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$CE$$, а через точку $$C$$ — только одну прямую, параллельную $$AD$$. Аналогично совпадают точки $$B$$ и $$B_1$$.

Итак, при наложении все вершины одной трапеции совмещаются с соответствующими вершинами другой, значит, трапеции равны.