Упр.1413 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Рассмотрим параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — точки пересечения их диагоналей. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD,$$

$$A_1O_1=O_1C_1,\quad B_1O_1=O_1D_1.$$

По условию $$AC=A_1C_1$$ и $$BD=B_1D_1$$, поэтому

$$AO=A_1O_1,\quad BO=B_1O_1.$$

Кроме того, по условию $$\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$$. Тогда по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle AOB \cong \triangle A_1O_1B_1.$$

Следовательно, существует наложение, при котором $$A\mapsto A_1$$, $$B\mapsto B_1$$, а точки $$O$$ и $$O_1$$ совмещаются.

Так как точки $$C$$ и $$D$$ лежат на продолжениях сторон треугольников $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ соответственно, то из равенства диагоналей получаем совпадение и этих точек: $$C\mapsto C_1$$, $$D\mapsto D_1$$.

Значит, при этом наложении весь параллелограмм $$ABCD$$ совмещается с параллелограммом $$A_1B_1C_1D_1$$. Следовательно, эти параллелограммы равны:

$$ABCD=A_1B_1C_1D_1.$$