Упр.1412 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны два равных отрезка $$AB$$ и $$A_1B_1$$. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки $$A$$ и $$B$$ отображаются соответственно в точки $$A_1$$ и $$B_1$$.

Возьмём на плоскости третью точку $$M$$, не лежащую на прямой $$AB$$.

Пусть при некотором движении $$g$$ точки отображаются так: $$A \mapsto A_1,$$ $$B \mapsto B_1.$$ Тогда образ точки $$M$$ обозначим через $$N$$. Так как движение сохраняет расстояния, получаем:

$$AM=A_1N,\qquad BM=B_1N.$$

Значит, точка $$N$$ должна принадлежать одновременно двум окружностям:

$$O_1(A_1,AM)\quad \text{и}\quad O_2(B_1,BM).$$

Так как $$AB=A_1B_1$$, то треугольства $$AMB$$ и $$A_1B_1N$$ могут быть равны по трём сторонам, а точка $$N$$ определяется как точка пересечения указанных окружностей. Эти окружности пересекаются в двух точках $$N_1$$ и $$N_2$$.

Следовательно, существует ровно два движения, переводящих $$A$$ в $$A_1$$ и $$B$$ в $$B_1$$: в одном случае точка $$M$$ переходит в $$N_1$$, в другом — в $$N_2$$.

Иных движений быть не может, потому что образ точки $$M$$ обязан удовлетворять одновременно условиям $$AM=A_1N$$ и $$BM=B_1N$$, а таких точек только две.

Ответ: существуют ровно два движения.