Упр.1411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. При данном движении $$g$$ точка $$A$$ отображается в точку $$B$$, а точка $$B$$ — в точку $$A$$. Докажите, что $$g$$ — центральная симметрия или осевая симметрия.

Рассмотрим произвольную точку $$M$$ и её образ $$N$$ при движении $$g$$. Так как движение сохраняет расстояния, а точки $$A$$ и $$B$$ переходят друг в друга, то

$$AM=BN,\qquad BM=AN.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AMBN$$ имеет попарно равные противоположные стороны, значит, это параллелограмм.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$AMBN$$. Тогда диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AO=OB,\qquad MO=ON.$$

Теперь возможны два случая.

1. Если $$M\neq N$$, то диагонали $$AB$$ и $$MN$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам. Значит, отображение $$g$$ есть центральная симметрия относительно точки $$O$$.
2. Если $$M=N$$, то для любой точки $$M$$ её образ совпадает с ней самой, а точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно некоторой прямой. В этом случае $$g$$ является осевой симметрией.

Итак, движение $$g$$ является либо центральной симметрией, либо осевой симметрией.