Упр.1410 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте границу круга, площадь которого равна:
а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;
б) площади данного полукруга;
в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
Пусть радиус искомого круга равен $$r$$.
а) Площадь кольца между концентрическими окружностями равна разности площадей кругов:
$$S=\pi R^2-\pi r_0^2=\pi r^2.$$
Тогда
$$r^2=R^2-r_0^2.$$
Значит, нужно построить отрезок длины $$r$$ как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $$R$$ и $$r_0$$. Для этого:
- Проведём прямую $$a$$ и отметим на ней точку $$C$$.
- Построим перпендикуляр к прямой $$a$$ в точке $$C$$.
- На перпендикуляре отложим отрезок $$CA=r_0$$.
- С центром в точке $$A$$ и радиусом $$R$$ проведём окружность; пусть она пересечёт прямую $$a$$ в точке $$B$$.
- Тогда $$BC=r$$, и круг с центром в $$B$$ и радиусом $$BC$$ — искомый.
б) Площадь полукруга равна
$$S=\frac{\pi R^2}{2}.$$
Пусть радиус искомого круга равен $$r$$. Тогда
$$\pi r^2=\frac{\pi R^2}{2},$$
откуда
$$r=\frac{R}{\sqrt2}.$$
Следовательно, нужно построить отрезок длины $$\frac{R}{\sqrt2}$$. Это половина диагонали квадрата со стороной $$R$$. Построение:
- Отметим на окружности точку $$A$$ на одном из концов диаметра.
- Через центр $$O$$ проведём перпендикуляр к $$OA$$ и отметим на нём точку $$C$$ так, чтобы $$OC=OA=R$$.
- Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к $$OA$$, а через точку $$C$$ — перпендикуляр к $$OC$$; получим квадрат.
- Пусть $$O_1$$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$O_1A=\frac{R}{\sqrt2}$$.
- Построим круг с центром в $$O_1$$ и радиусом $$O_1A$$.
в) Площадь сектора с углом $$60^\circ$$ равна
$$S=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{6}.$$
Пусть радиус искомого круга равен $$r$$. Тогда
$$\pi r^2=\frac{\pi R^2}{6},$$
откуда
$$r=\frac{R}{\sqrt6}.$$
Построим отрезок длины $$\frac{R}{\sqrt6}$$:
- Возьмём отрезок $$PQ$$ за единичный.
- Построим квадрат со стороной $$PQ$$; его диагональ равна $$\sqrt2$$.
- Построим прямоугольный треугольник с катетами $$2$$ и $$\sqrt2$$; его гипотенуза равна $$\sqrt6$$.
- Построим произвольный угол с вершиной $$O_1$$.
- На одной стороне угла отложим $$O_1B=AB$$, а на другой — $$O_1R=R$$.
- Через точку $$R$$ проведём прямую, параллельную $$BQ$$, и отметим на второй стороне угла точку $$R_1$$.
- Тогда $$O_1R_1=\frac{R}{\sqrt6}$$, и круг с центром в $$O_1$$ и радиусом $$O_1R_1$$ — искомый.
