Упр.1409 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: $$\mathrm{АЕВ}$$, $$\mathrm{АКС}$$, $$\mathrm{CFD}$$, $$\mathrm{DLB}$$, причём $$AC=DB$$. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре.

Обозначим радиусы больших полуокружностей через $$R$$ и $$r$$. Тогда из равенства $$AC=DB$$ получаем, что соответствующие отрезки равны половинам разности диаметров, то есть

$$AC=DB=\frac{R-r}{2}.$$

Кроме того, диаметр полуокружности, на которой построен круг с диаметром $$EF$$, равен сумме этих радиусов:

$$EF=R+r.$$

Площадь закрашенной фигуры равна сумме площадей двух полуокружностей минус площадь двух внутренних полуокружностей:

$$S_F=\frac{1}{2}\pi R^2+\frac{1}{2}\pi r^2-\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2.$$

Преобразуем:

$$S_F=\frac{\pi}{2}(R^2+r^2)-\frac{\pi}{4}(R-r)^2$$

$$=\frac{\pi}{4}\bigl(2R^2+2r^2-(R^2-2Rr+r^2)\bigr)$$

$$=\frac{\pi}{4}(R^2+2Rr+r^2) =\frac{\pi}{4}(R+r)^2.$$

Так как $$EF=R+r$$, то

$$S_F=\frac{\pi}{4}EF^2.$$

Но площадь круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре, равна

$$S=\pi\left(\frac{EF}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}EF^2.$$

Следовательно, площадь закрашенной фигуры равна площади этого круга.