Упр.1408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка $$АС$$ равна длине окружности с центром $$О$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R$$.

Из рисунка имеем $$BC=6R$$ и $$\angle O=60^\circ.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R,$$

следовательно,

$$AB=OA+OB=\frac{\sqrt3}{2}R+R=\frac{\sqrt3+2}{2}R.$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2=\left(\frac{\sqrt3+2}{2}R\right)^2+(6R)^2.$$

Тогда

$$AC^2=\frac{(\sqrt3+2)^2}{4}R^2+36R^2=\frac{7+4\sqrt3}{4}R^2+36R^2=\frac{151+4\sqrt3}{4}R^2,$$

откуда

$$AC=\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}R.$$

Длина окружности радиуса $$R$$ равна $$2\pi R$$. Сравним коэффициенты:

$$\frac{\sqrt{151+4\sqrt3}}{2}\approx 6{,}2839,\qquad 2\pi\approx 6{,}2832.$$

Разность коэффициентов меньше $$0{,}001$$, значит,

$$|AC-2\pi R|<0{,}001R.$$

Следовательно, длина отрезка $$AC$$ равна длине окружности с центром $$O$$ радиуса $$R$$ с точностью до $$0{,}001R.$$