Упр.1407 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса $$R$$. Докажите, что сумма $$AB + A_1B_1$$ равна длине полуокружности с точностью до $$0{,}01R$$.

Пусть окружность имеет радиус $$R$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, вписанный в окружность, то его диагональ равна диаметру окружности:

$$AC=2R.$$

Но у квадрата $$AC=AB\sqrt{2}$$, значит

$$AB=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}.$$

Так как $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, вписанный в ту же окружность, то его сторона равна

$$A_1B_1=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$AB+A_1B_1=R\sqrt{2}+R\sqrt{3}=R(\sqrt{2}+\sqrt{3}).$$

Длина полуокружности равна

$$\frac{1}{2}C=\pi R.$$

Сравним числа $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ и $$\pi$$:

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1{,}414+1{,}732=3{,}146,$$

$$\pi\approx 3{,}142.$$

Разность

$$\left|\pi-(\sqrt{2}+\sqrt{3})\right|\approx 0{,}004<0{,}01.$$

Следовательно,

$$AB+A_1B_1\approx \frac{1}{2}C$$

с точностью до $$0{,}01R$$, что и требовалось доказать.