Упр.1406 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$2$$. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

Пусть $$\angle A=a,\quad \angle B=2a,\quad \angle C=4a.$$ Тогда

$$a+2a+4a=180^\circ,$$

откуда

$$a=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$

Внутренний угол правильного семиугольника равен

$$180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$

Обозначим через $$M,N,P$$ середины сторон $$AB,\,BC,\,CA$$ соответственно, а через $$A_1,B_1,C_1$$ основания высот треугольника $$ABC$$.

Так как $$M,N,P$$ — середины сторон треугольника, то

$$MN\parallel AC,\quad NP\parallel AB,\quad PM\parallel BC,$$

и

$$MN=\frac12 AC,\quad NP=\frac12 AB,\quad PM=\frac12 BC.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1.$$ У него

$$\angle BA_1C=\angle BC_1C=90^\circ,$$

значит, вокруг него можно описать окружность. Диагональ этой окружности — отрезок $$BC,$$ поэтому её центр лежит на серединном перпендикуляре к $$BC$$ и равноудалён от точек $$B,C,A_1,C_1$$. Следовательно,

$$PB=PC=PA_1=PC_1=\frac12 BC.$$

Кроме того,

$$\angle C_1PA_1=2\angle C_1BA_1=2(90^\circ-\angle A)=2\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{7}\right)=\frac{900^\circ}{7}.$$

Значит, угол между соседними сторонами $$PA_1$$ и $$PC_1$$ равен внутреннему углу правильного семиугольника.

Аналогично, для четырёхугольника $$AB_1CC_1$$ имеем

$$\angle AB_1C=\angle AC_1C=90^\circ,$$

поэтому вокруг него также можно описать окружность с диаметром $$AC$$. Её центр обозначим через $$N$$. Тогда

$$NA=NB_1=NC=NC_1=\frac12 AC.$$

Так как $$PM=\frac12 AC,$$ то

$$PB_1=NB=\frac12 AC.$$

Следовательно, четырёхугольник $$PB_1NM$$ равнобедренный, а

$$\angle PB_1N=\angle PMN=\frac{900^\circ}{7}.$$

Таким образом, все шесть точек $$B_1, A_1, P, C_1, M, N$$ последовательно соединяются равными сторонами, а углы между соседними сторонами равны внутреннему углу правильного семиугольника. Значит, эти точки являются шестью вершинами правильного семиугольника.