Упр.1405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть $$M$$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $$n$$-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $$M$$ к прямым, содержащим стороны $$n$$-угольника, равна $$nr$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Пусть сторона правильного $$n$$-угольника равна $$a$$, а его площадь равна $$S_n$$.

С одной стороны, площадь правильного многоугольника выражается через периметр и радиус вписанной окружности:

$$S_n=\frac12Pr=\frac12\cdot na\cdot r.$$

С другой стороны, если из точки $$M$$ опустить перпендикуляры на прямые, содержащие стороны многоугольника, и обозначить их длины через $$MH_1, MH_2, \ldots, MH_n$$, то площадь многоугольника можно представить как сумму площадей треугольников:

$$S_n=S_{A_1A_2M}+S_{A_2A_3M}+\cdots+S_{A_nA_1M}.$$

Каждый из этих треугольников имеет основание $$a$$ и высоту, равную соответствующему перпендикуляру из точки $$M$$, поэтому

$$S_n=\frac12 a\cdot MH_1+\frac12 a\cdot MH_2+\cdots+\frac12 a\cdot MH_n =\frac12 a\,(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$

Приравниваем два выражения для площади:

$$\frac12 na r=\frac12 a\,(MH_1+MH_2+\cdots+MH_n).$$

Сокращая на $$\frac12 a$$, получаем:

$$MH_1+MH_2+\cdots+MH_n=nr.$$

Что и требовалось доказать.