Упр.1401 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Около правильного пятиугольника $$А_1А_2А_3А_4А_5$$ описана окружность с центром $$О$$. Вершинами треугольника $$ABC$$ являются середины сторон $$А_1А_2$$, $$А_2А_3$$ и $$А_3А_4$$ пятиугольника. Докажите, что центр $$О$$ данной окружности и центр $$О_1$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, симметричны относительно прямой $$АС$$.

Обозначим сторону правильного пятиугольника через $$a$$. Тогда

$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C=\frac a2,$$

а центральный угол правильного пятиугольника равен $$72^\circ$$, значит

$$\angle A_2A_3B=\angle BA_3C=108^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle AA_2B$$ и $$\triangle BA_3C$$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$AB=BC.$$

Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Найдём его углы. Так как $$\angle A_2AB=180^\circ-108^\circ=72^\circ,$$ то

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle A_2BA=180^\circ-(180^\circ-108^\circ)=108^\circ,$$

а потому

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Проведём диагональ $$BA_5$$ и обозначим через $$M$$ точку её пересечения с прямой $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$A_2A_5A_3$$ отрезок $$BA_5$$ является медианой, биссектрисой и высотой, значит и в треугольнике $$ABC$$ прямая $$BM$$ — медиана, биссектриса и высота.

Следовательно, центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, то есть на прямой $$BA_5$$. Кроме того, центр описанной окружности $$O$$ правильного пятиугольника тоже лежит на диагонали $$BA_5$$.

Рассмотрим углы при точке $$A$$. Так как $$\angle AOB=72^\circ,$$ то в равнобедренном треугольнике $$AOB$$

$$\angle OAB=\frac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ.$$

Поскольку $$\angle BAC=36^\circ,$$ получаем

$$\angle OAC=\angle OAB-\angle BAC=54^\circ-36^\circ=18^\circ.$$

Аналогично для центра $$O_1$$ вписанной окружности треугольника $$ABC$$ имеем

$$\angle O_1AC=\frac12\angle BAC=18^\circ.$$

Значит, прямая $$AC$$ образует с лучами $$AO$$ и $$AO_1$$ равные углы, то есть точки $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$.

Ответ: центры $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$.