Упр.1400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AOC$$:

$$AC^2=AO^2+OC^2=R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{5R^2}{4},$$

значит

$$AC=\frac{R\sqrt5}{2}.$$

Так как $$C$$ — центр окружности с радиусом $$\frac{R}{2}$$, а точка $$K$$ лежит на отрезке $$AC$$ и принадлежит этой окружности, то

$$CK=\frac{R}{2}.$$

Тогда

$$AK=AC-CK=\frac{R\sqrt5}{2}-\frac{R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, равна $$\frac{\sqrt5-1}{2}R$$. Следовательно, $$AK$$ равен стороне правильного десятиугольника.