Упр.1399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$, $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$. Докажите, что:
a) треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$OAB$$;
б) $$AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$$.

Подробный ответ

Так как десятиугольник правильный, то центральный угол

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOB$$ стороны $$OA$$ и $$OB$$ равны как радиусы окружности, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Тогда

$$\angle OAB=\angle ABO=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$, имеем

$$\angle BAC=\angle CAO=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA$$ и $$OC$$ равны, значит, он равнобедренный, поэтому

$$\angle ACO=\angle OAC=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB.$$

Но точки $$B, C, O$$ лежат на рисунке так, что из полученных углов следует

$$\angle ACB=72^\circ.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$OAB$$

$$\angle BAC=\angle AOB=36^\circ,\qquad \angle ABC=\angle OAB=72^\circ.$$

Значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB.$$

Теперь докажем равенство сторон. Из подобия получаем

$$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{OB}=\frac{AC}{AB}.$$

Обозначим $$AB=x$$, тогда $$AO=OB=R$$. Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=AC=x$$. Кроме того, из подобия и равенства соответствующих сторон получаем отношение

$$\frac{x}{R}=\frac{R-x}{x}.$$

Отсюда

$$x^2=R(R-x),$$

$$x^2+Rx-R^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$x=\frac{-R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{-R+\sqrt{5}R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Значит,

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Ответ: $$\triangle ABC\sim\triangle OAB$$, $$AB=AC=OC=\dfrac{\sqrt5-1}{2}R.$$