Упр.1398 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ проведены высота $$AH$$ длиной $$h$$, медиана $$AM$$ длиной $$l$$, биссектриса $$AN$$. Точка $$N$$ — середина отрезка $$MH$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до точки пересечения высот треугольника $$ABC$$.
Обозначим через $$K$$ точку пересечения высоты $$BD$$ с высотой $$AH$$. Тогда нужно найти $$AK$$.
Из прямоугольного треугольника $$AMH$$ по теореме Пифагора получаем:
$$MH^2=AM^2-AH^2=l^2-h^2,$$
значит
$$MH=\sqrt{l^2-h^2}.$$
Так как $$N$$ — середина отрезка $$MH$$, то
$$MN=NH=\frac{MH}{2}=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}.$$
Проведём через точки $$M$$ и $$Q$$ серединные перпендикуляры к сторонам $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Их пересечение обозначим через $$O$$. Тогда $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.
Поскольку $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$, то $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, следовательно:
$$MQ\parallel AB,\qquad MQ=\frac{AB}{2}.$$
Рассмотрим треугольники $$MOQ$$ и $$AKB$$. У них:
$$\angle MOQ=\angle AKB,$$
$$\angle OMQ=\angle KAB,$$
так как соответствующие стороны параллельны. Значит,
$$\triangle MOQ\sim \triangle AKB.$$
Коэффициент подобия равен
$$k=\frac{AB}{MQ}=2,$$
поэтому
$$AK=2\,MO.$$
Теперь найдём $$MO$$. Так как $$AN$$ — биссектриса, а $$N$$ — середина $$MH$$, то
$$\angle AHN=\angle EMN=90^\circ,$$
и треугольники $$ANH$$ и $$ENM$$ равны, откуда
$$AN=EN.$$
Кроме того, $$OA=OE$$ как радиусы описанной окружности. Следовательно, точки $$A$$ и $$N$$ равноудалены от $$O$$ и $$E$$, а значит, прямая $$ON$$ является серединным перпендикуляром к $$AE$$. Тогда
$$ON\perp AE.$$
Так как $$AN$$ — биссектриса, а $$AH\perp BH$$, то получаем, что треугольники $$ONM$$ и $$NAH$$ подобны, и
$$\frac{MN}{AN}=\frac{OM}{NH}.$$
Подставим найденные значения:
$$OM=\frac{MN\cdot NH}{AN}=\frac{\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{2}\right)}{h}=\frac{l^2-h^2}{4h}.$$
Тогда
$$AK=2MO=2\cdot \frac{l^2-h^2}{4h}=\frac{l^2-h^2}{2h}.$$
Ответ: $$\frac{l^2-h^2}{2h}$$.
