Упр.1397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$BC$$, отрезки $$AM$$ и $$CN$$ — высоты треугольника, точка $$O$$ — центр описанной окружности. Угол $$ABC$$ равен $$Р$$, а площадь четырёхугольника $$NOMB$$ равна $$S$$. Найдите сторону $$AC$$.

Подробный ответ

Так как $$\angle ABC=\beta$$, то по теореме синусов для стороны $$AC$$ имеем

$$\frac{AC}{\sin\beta}=2R,$$

откуда

$$AC=2R\sin\beta.$$

Найдём $$R$$ через площадь четырёхугольника $$NOMB$$.

Поскольку $$AM$$ и $$CN$$ — высоты, то $$ON\perp AB$$ и $$OM\perp BC$$. Тогда площади треугольников $$OBN$$ и $$OBA$$ относятся как соответствующие основания:

$$\frac{S_{OBN}}{S_{OBA}}=\frac{NB}{AB},$$

а аналогично

$$\frac{S_{OBM}}{S_{OBC}}=\frac{BM}{BC}.$$

Следовательно,

$$S_{NOMB}=S_{OBN}+S_{OBM}=\frac{NB}{AB}S_{OBA}+\frac{BM}{BC}S_{OBC}.$$

Так как $$\angle AMB=\angle CNB=90^\circ$$ и $$\angle B$$ — общий, то $$\triangle AMB\sim\triangle CNB$$, значит

$$\frac{AB}{CB}=\frac{MB}{NB}.$$

По теореме синусов

$$\frac{AB}{CB}=\frac{\sin C}{\sin A},$$

поэтому

$$\frac{NB}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}\cos\beta,\qquad \frac{BM}{BC}=\frac{\sin C}{\sin A}\cos\beta.$$

Кроме того,

$$S_{OBA}=\frac12R^2\sin\angle AOB=\frac12R^2\sin2C,$$

$$S_{OBC}=\frac12R^2\sin\angle BOC=\frac12R^2\sin2A.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S_{NOMB} &=\frac12R^2\cos\beta\left(\frac{\sin A}{\sin C}\sin2C+\frac{\sin C}{\sin A}\sin2A\right)\\ &=\frac12R^2\cos\beta\left(2\sin A\cos C+2\sin C\cos A\right)\\ &=R^2\cos\beta\sin(A+C). \end{aligned}$$

Так как $$A+C=180^\circ-\beta$$, то

$$S_{NOMB}=R^2\cos\beta\sin(180^\circ-\beta)=R^2\sin\beta\cos\beta=\frac{R^2}{2}\sin2\beta.$$

По условию $$S_{NOMB}=S$$, значит

$$R^2=\frac{2S}{\sin2\beta}.$$

Теперь

$$AC=2R\sin\beta =2\sqrt{\frac{2S}{\sin2\beta}}\sin\beta =2\sqrt{\frac{S\sin\beta}{\cos\beta}} =2\sqrt{S\tan\beta}.$$

Ответ: $$AC=2\sqrt{S\tan\beta}.$$