Упр.1396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ меньшее основание $$AD$$ равно $$3$$, а боковая сторона $$CD$$, не перпендикулярная к основаниям, равна $$6$$. Точка $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, угол $$СВР$$ равен $$а$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.

Опустим перпендикуляры $$DH \perp BC$$ и $$EK \perp BC$$, где $$H, K \in BC$$.

Тогда $$\angle DHC = \angle EKC = 90^\circ$$, а $$\angle DCH = \angle ECK$$, значит, $$\triangle DHC \sim \triangle EKC$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{CD}{CE}=2,$$

так как $$E$$ — середина отрезка $$CD$$. Следовательно, $$EK$$ — средняя линия треугольника $$DHC$$, поэтому

$$HK=KC=a.$$

В прямоугольном треугольнике $$CEK$$ имеем

$$EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\sqrt{3^2-a^2}=\sqrt{9-a^2}.$$

С другой стороны, из подобия треугольников $$DHC$$ и $$EKC$$:

$$\frac{DH}{EK}=\frac{CD}{CE}=2,$$

значит,

$$DH=2EK=2\sqrt{9-a^2}.$$

Пусть $$\angle CBE=\alpha$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BKE$$

$$\tan \alpha=\frac{EK}{BK}=\frac{EK}{BC-a}.$$

Так как $$BC=AD+HC=3+2a,$$ то

$$BK=BC-KC=(3+2a)-a=3+a.$$

Следовательно,

$$\sqrt{9-a^2}=(3+a)\tan \alpha.$$

Возведём в квадрат:

$$9-a^2=(3+a)^2\tan^2\alpha.$$

После преобразований получаем

$$a=3\cos 2\alpha.$$

Тогда

$$EK=\sqrt{9-9\cos^2 2\alpha}=3\sin 2\alpha,$$

а высота трапеции

$$h=DH=2EK=6\sin 2\alpha.$$

Площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника $$ADHB$$ и треугольника $$DCH$$:

$$S=h\cdot AD+\frac12 h\cdot HC.$$

Так как $$HC=2a=6\cos 2\alpha,$$ то

$$S=6\sin 2\alpha\left(3+\frac{6\cos 2\alpha}{2}\right)=18\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha).$$

Ответ: $$18\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha)$$.