Упр.1395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Обозначим стороны треугольника так, что $$a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB,\quad c<b<a.$$

Пусть $$O_1$$ — центр вписанной окружности, $$O_2$$ — центр описанной окружности. Обозначим через $$BB_1$$ биссектрису угла $$B$$, а через $$B_2O_2$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$BC$$.

Необходимость

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Тогда

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Проведём высоту $$BH\perp AC$$ и рассмотрим точку $$E=BB_1\cap B_2O_2$$. Пусть $$F=O_1O_2\cap BH$$.

В треугольнике $$BO_2E$$ имеем $$O_2B=O_2E=R$$, значит он равнобедренный. Кроме того, $$O_1O_2$$ — прямая, соединяющая центры вписанной и описанной окружностей, а $$O_1O_2\perp BB_1$$ по условию задачи. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BO_2E$$ прямая $$O_1O_2$$ является осью симметрии, поэтому

$$O_1B=O_1E.$$

Так как $$BH\parallel O_1D\parallel EB_2$$, то соответствующие отрезки на этих параллельных прямых равны, и получаем

$$HD=DB_2.$$

С другой стороны, из свойств касательных к вписанной окружности:

$$AB_2=BD=\frac b2.$$

Найдём $$AH$$:

$$AH=c\cos A=c\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}.$$

Тогда

$$HD=DB_2=\frac12\left(AB_2-AH\right) =\frac12\left(\frac b2-\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}\right) =\frac{a^2-c^2}{4b}.$$

А также

$$AD=AH+HB=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}+\frac{a^2-c^2}{2b} =\frac{2b^2+c^2-a^2}{4b}.$$

С другой стороны, для отрезков касательных к вписанной окружности:

$$\begin{aligned} x+y&=c,\\ y+z&=a,\\ x+z&=b, \end{aligned}$$

откуда

$$x=\frac{b+c-a}{2},\qquad y=\frac{a+c-b}{2},\qquad z=\frac{a+b-c}{2}.$$

Следовательно,

$$AD=\frac{b+c-a}{2}.$$

Приравнивая два выражения для $$AD$$, получаем

$$\frac{2b^2+c^2-a^2}{4b}=\frac{b+c-a}{2}.$$

После преобразований:

$$2b^2+c^2-a^2=2b(b+c-a),$$

$$c^2-a^2=2b(c-a),$$

$$(c-a)(c+a-2b)=0.$$

Так как $$a\ne c$$, то

$$c+a-2b=0,$$

то есть

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Необходимость доказана.

Достаточность

Пусть теперь

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Найдём $$AH$$ и $$AD$$:

$$AH=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b} =\frac{\left(\frac{a+c}{2}\right)^2+c^2-a^2}{a+c} =\frac{5c-3a}{4},$$

$$AD=\frac{b+c-a}{2} =\frac{\frac{a+c}{2}+c-a}{2} =\frac{3c-a}{4}.$$

Тогда

$$HD=AD-AH=\frac{a-c}{2}.$$

Кроме того,

$$DB_2=AB_2-AD=\frac b2-AD =\frac{a+c}{4}-\frac{3c-a}{4} =\frac{a-c}{2}.$$

Значит,

$$HD=DB_2.$$

Следовательно, прямая $$O_1O_2$$ проходит через середину отрезка $$HB_2$$ и, значит, является серединным перпендикуляром к нему. Но $$BH\parallel O_1D\parallel EB_2$$, поэтому $$O_1O_2\perp BB_1$$.

Достаточность доказана.

Итак, стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда $$O_1O_2\perp BB_1$$.