Упр.1394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле S = корень(p -a)(p -b)(p -c)(p-d), где р — полупериметр, а, b, с, d — стороны четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$CD=c$$, $$AD=d$$, а $$p=\frac{a+b+c+d}{2}$$.

По свойству вписанного четырёхугольника:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Рассмотрим диагональ $$BD$$. По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$

$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C.$$

Так как $$\angle C=180^\circ-\angle A$$, то $$\cos C=-\cos A$$, и потому

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A.$$

Отсюда

$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Теперь найдём $$\sin A$$:

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$

После преобразований получаем

$$\sin^2 A=\frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}.$$

Так как $$P=a+b+c+d=2p$$, то

$$\sin^2 A=\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2},$$

следовательно,

$$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac12ad\sin A+\frac12bc\sin C.$$

Но $$\sin C=\sin(180^\circ-A)=\sin A$$, значит

$$S=\frac12(ad+bc)\sin A.$$

Подставим найденное значение $$\sin A$$:

$$S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Получаем

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Ответ

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$