Упр.1394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p$$ — полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ — стороны четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$CD=c,$$ $$AD=d,$$ $$p=\frac{a+b+c+d}{2}.$$ Обозначим диагональ $$BD$$ через $$x$$.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$

следовательно, $$\cos C=-\cos A$$ и $$\sin C=\sin A.$$

По теореме косинусов для треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ имеем:

$$x^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$

$$x^2=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A.$$

Приравнивая, получаем

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A,$$

откуда

$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Тогда

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A =1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$

После преобразований получаем

$$\sin^2 A= \frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}.$$

Так как $$P=a+b+c+d=2p,$$ то

$$\sin^2 A= \frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2},$$

значит

$$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Теперь найдём площадь четырёхугольника как сумму площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S=S_{ABD}+S_{BCD} =\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C.$$

Так как $$\sin C=\sin A,$$ то

$$S=\frac12(ad+bc)\sin A.$$

Подставляя найденное значение $$\sin A,$$ получаем

$$S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc} =\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Тем самым доказано, что площадь вписанного четырёхугольника вычисляется по формуле

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$