Упр.1392 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса $$AA_1$$ вычисляется по формуле $$AA_1=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Рассмотрим площадь треугольника $$ABC$$ двумя способами.

С одной стороны, если $$AC=b$$, $$AB=c$$, то

$$S_{ABC}=\frac12 bc\sin A.$$

С другой стороны, биссектриса $$AA_1$$ делит треугольник $$ABC$$ на два треугольника $$ABA_1$$ и $$ACA_1$$. Поэтому

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{ACA_1}.$$

Так как $$\angle BAA_1=\angle A_1AC=\frac A2$$, то

$$S_{ABA_1}=\frac12 \cdot AB \cdot AA_1 \cdot \sin\frac A2=\frac12 c\cdot AA_1\sin\frac A2,$$

$$S_{ACA_1}=\frac12 \cdot AC \cdot AA_1 \cdot \sin\frac A2=\frac12 b\cdot AA_1\sin\frac A2.$$

Тогда

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1\sin\frac A2\,(b+c).$$

Умножим на $$2$$ и выразим $$AA_1$$:

$$bc\sin A=AA_1(b+c)\sin\frac A2,$$

$$AA_1=\frac{bc\sin A}{(b+c)\sin\frac A2}.$$

Используем формулу $$\sin A=2\sin\frac A2\cos\frac A2$$:

$$AA_1=\frac{bc\cdot 2\sin\frac A2\cos\frac A2}{(b+c)\sin\frac A2}=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}.$$

Что и требовалось доказать.