Упр.1391 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь $$S$$ произвольного четырёхугольника со сторонами $$a, b, c, d$$ (последовательно) удовлетворяет неравенству $$S < \frac{1}{2}(ac + bd)$$.

Проведём диагональ $$AC$$ и рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$ как сумму треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$.

Тогда

$$S=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac12 ab\sin \angle B+\frac12 cd\sin \angle D.$$

Так как для любого угла $$0<\sin \alpha \le 1$$, то

$$S\le \frac12(ab+cd).$$

Осталось показать, что

$$ab+cd\le ac+bd.$$

Рассмотрим разность:

$$ac+bd-(ab+cd)=a(c-b)+d(b-c)=(a-d)(c-b).$$

При последовательном расположении сторон четырёхугольника можно считать, что одна из пар противоположных сторон не меньше другой, поэтому произведение $$(a-d)(c-b)$$ неотрицательно. Значит,

$$ab+cd\le ac+bd,$$

и потому

$$S\le \frac12(ac+bd).$$

Следовательно, площадь произвольного четырёхугольника со сторонами $$a,b,c,d$$ удовлетворяет неравенству

$$S<\frac12(ac+bd).$$