Упр.1390 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ODC$$ есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $$OBC$$ и $$OAD$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.

Подробный ответ

Пусть $$OA=a,\; OB=b,\; OC=c,\; OD=d.$$

Тогда площади треугольников с общей вершиной $$O$$ выражаются через две стороны и угол между ними:

$$S_{ODC}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\angle COD=\frac{cd}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac{bc}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{ad}{2}\sin\alpha,$$

где $$\alpha=\angle COD.$$

По условию $$S_{ODC}=\sqrt{S_{OBC}\cdot S_{OAD}}.$$ Возведём в квадрат:

$$S_{ODC}^2=S_{OBC}\cdot S_{OAD}.$$

Подставим выражения площадей:

$$\left(\frac{cd}{2}\sin\alpha\right)^2=\frac{bc}{2}\sin\alpha\cdot \frac{ad}{2}\sin\alpha.$$

После сокращения получаем:

$$c^2d^2=bc\cdot ad,$$
$$cd=ab.$$

Отсюда

$$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}=k.$$

Кроме того, углы $$\angle BOC$$ и $$\angle DOA$$ — вертикальные, значит, равны. Следовательно, треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем:

$$\angle CBO=\angle ADO.$$

Так как точки $$B,O,D$$ лежат на одной прямой, то это означает, что $$BC \parallel AD.$$

Теперь рассмотрим отношение $$k=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OB}{OD}$$:

если $$k<1$$, то $$BC<AD$$, и четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$;
если $$k=1$$, то $$OB=OD$$ и $$OA=OC$$, значит, диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм;
если $$k>1$$, то $$BC>AD$$, и снова получаем трапецию с основаниями $$AD$$ и $$BC$$.

Итак, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.