Упр.1389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA = 1/2MN, QB = 1/3MN (рис. 369). Докажите, что угол AMB = 45°.

Подробный ответ

Пусть $$MN=a$$. Тогда из условия имеем:

$$NA=\frac{1}{2}a,\qquad QB=\frac{1}{3}a.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники.

В треугольнике $$MNA$$:

$$AM^2=MN^2+NA^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4},$$

откуда

$$AM=\frac{a\sqrt5}{2}.$$

В треугольнике $$APB$$:

$$AP=\frac{a}{2},\qquad PB=PQ-QB=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3},$$

поэтому

$$AB^2=AP^2+PB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{25a^2}{36},$$

значит

$$AB=\frac{5a}{6}.$$

В треугольнике $$MBQ$$:

$$MQ=a,\qquad BQ=\frac{a}{3},$$

следовательно

$$MB^2=MQ^2+BQ^2=a^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2=\frac{10a^2}{9},$$

то есть

$$MB=\frac{a\sqrt{10}}{3}.$$

Обозначим $$\angle AMB=\alpha$$. По теореме косинусов:

$$ \cos\alpha=\frac{AM^2+MB^2-AB^2}{2\cdot AM\cdot MB} $$

$$ \cos\alpha= \frac{\frac{5a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36}} {2\cdot \frac{a\sqrt5}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}} = \frac{\frac{45a^2+40a^2-25a^2}{36}} {\frac{a^2\sqrt{50}}{3}} = \frac{\frac{60a^2}{36}}{\frac{5a^2\sqrt2}{3}} =\frac{1}{\sqrt2}. $$

Так как $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2}$$, то $$\alpha=45^\circ$$.