Упр.1388 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, $$k$$ — данное положительное число, не равное $$1$$.
а) Докажите, что множество всех точек $$M$$, удовлетворяющих условию $$AM=kBM$$, есть окружность (окружность Аполлония).
б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
Пусть точки $$A$$ и $$B$$ лежат на оси $$Ox$$, причём $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, а точка $$M(x;y)$$ удовлетворяет условию $$AM=k\,BM$$, где $$k>0$$, $$k\ne 1$$.
а)
Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(x-a)^2+y^2.$$
Из условия $$AM=k\,BM$$ получаем
$$x^2+y^2=k^2\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$x^2+y^2=k^2x^2-2k^2ax+k^2a^2+k^2y^2,$$
$$x^2-k^2x^2+2k^2ax-k^2a^2+(1-k^2)y^2=0.$$
Так как $$k\ne 1$$, разделим на $$1-k^2$$:
$$x^2+2\frac{k^2a}{1-k^2}x+y^2=\frac{k^2a^2}{1-k^2}.$$
Дополняя до квадрата, получаем
$$\left(x+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y^2=\frac{k^2a^2}{(1-k^2)^2}.$$
Это уравнение окружности с центром
$$C\left(-\frac{k^2a}{1-k^2};\,0\right)$$
и радиусом
$$R=\frac{ka}{|1-k^2|}.$$
Значит, множество всех точек $$M$$, для которых $$AM=k\,BM$$, есть окружность Аполлония.
б)
Пусть окружность, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$, пересекает окружность Аполлония в точке $$E$$. Обозначим её центр через $$D$$.
Так как $$DA=DB$$, то центр $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Следовательно, в выбранной системе координат
$$D\left(\frac a2;\,y_D\right).$$
Для точки $$E$$ имеем:
$$CE=R,\qquad DE=r,$$
где $$r$$ — радиус окружности с центром $$D$$.
Найдём расстояние между центрами:
$$CD^2=\left(\frac a2+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y_D^2.$$
После преобразования получаем
$$CD^2=\left(\frac a2\right)^2+y_D^2+\frac{k^2a^2}{(1-k^2)^2}.$$
С другой стороны,
$$R^2=\frac{k^2a^2}{(1-k^2)^2},\qquad r^2=\left(\frac a2\right)^2+y_D^2.$$
Значит,
$$CD^2=R^2+r^2.$$
Но для двух окружностей это равенство означает, что угол между радиусами, проведёнными в точку их пересечения, прямой. Следовательно, в точке $$E$$ радиусы $$CE$$ и $$DE$$ взаимно перпендикулярны.
Ответ: множество точек $$M$$ — окружность Аполлония; при пересечении с любой окружностью, проходящей через $$A$$ и $$B$$, радиусы, проведённые в точку пересечения, перпендикулярны.
