Упр.1387 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$O$$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $$M_1$$ окружности на луче $$OM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$OM=k\cdot OM_1$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Пусть дана окружность с центром $$C$$ и радиусом $$r$$, а точка $$O$$ не лежит на этой окружности. Рассмотрим произвольную точку $$M_1$$ на окружности и точку $$M$$ на луче $$OM_1$$ такую, что

$$OM=k\cdot OM_1,$$

где $$k>0$$ — постоянное число.

Докажем, что множество всех точек $$M$$ является окружностью.

Возьмём систему координат так, чтобы

$$O(0;0), \qquad C(0;c).$$

Пусть $$M(x;y)$$ — произвольная точка искомого множества, а $$M_1(x_1;y_1)$$ — соответствующая ей точка исходной окружности. Тогда, так как $$M$$ лежит на луче $$OM_1$$ и $$OM=k\cdot OM_1$$, получаем

$$x=kx_1,\qquad y=ky_1,$$

то есть

$$x_1=\frac{x}{k},\qquad y_1=\frac{y}{k}.$$

Так как точка $$M_1$$ лежит на окружности, то

$$x_1^2+(y_1-c)^2=r^2.$$

Подставим сюда выражения для $$x_1$$ и $$y_1$$:

$$\left(\frac{x}{k}\right)^2+\left(\frac{y}{k}-c\right)^2=r^2.$$

Умножим на $$k^2$$:

$$x^2+(y-kc)^2=(kr)^2.$$

Это уравнение окружности с центром $$C'(0;kc)$$ и радиусом $$kr$$.

Значит, множество всех точек $$M$$ — это окружность, центр которой лежит на луче $$OC$$ и находится в $$k$$ раз дальше от $$O$$, чем центр исходной окружности, а радиус в $$k$$ раз больше исходного.

Ответ: окружность с центром на луче $$OC$$, расположенным в $$k$$ раз дальше от $$O$$, и радиусом $$kr$$.