Упр.1386 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней. Для каждой точки $$M_1$$ прямой $$a$$ на луче $$AM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$AM_1 \cdot AM = k$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Обозначим на прямой $$a$$ произвольную точку $$M_1$$. По условию на луче $$AM_1$$ выбирается точка $$M$$ так, что

$$AM_1\cdot AM=k,$$

где $$k>0$$ — постоянное число.

Рассмотрим координатную плоскость так, чтобы прямая $$a$$ совпадала с осью $$Ox$$, а точка $$A$$ имела координаты $$A(0;a)$$. Пусть $$M_1(m;0)$$, тогда для точки $$M(x;y)$$ имеем

$$AM_1=\sqrt{a^2+m^2},$$

$$AM=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

Из условия

$$AM_1\cdot AM=k$$

получаем

$$\sqrt{a^2+m^2}\cdot \sqrt{x^2+(y-a)^2}=k,$$

откуда

$$x^2+(y-a)^2=\frac{k^2}{a^2+m^2}.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$A$$.

Ответ: множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$A$$.