Упр.1385 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Даны три точки \(A\), \(B\), \(C\) и три числа \(a\), \(b\), \(у\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых сумма $$aAM^2+bBM^2+уCM^2$$ имеет постоянное значение, если:
а) $$a+b+у=0$$;
б) $$a+b+у=0$$.
Рассмотрим координатную плоскость и выберем систему координат так, чтобы $$A(0,0),\; B(b,0),\; C(c,d).$$ Пусть $$M(x,y).$$ Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(x-b)^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-c)^2+(y-d)^2.$$
Составим сумму:
$$\begin{aligned} aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2 &=a(x^2+y^2)+b\bigl((x-b)^2+y^2\bigr)+\gamma\bigl((x-c)^2+(y-d)^2\bigr)\\ &=(a+b+\gamma)x^2-2(b^2+\gamma c)x+(a+b+\gamma)y^2-2\gamma dy\\ &\quad +\,bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2. \end{aligned}$$
а) Если $$a+b+\gamma\ne 0,$$ то, разделив на $$a+b+\gamma,$$ получаем уравнение окружности или точки:
$$\left(x-\frac{b^2+\gamma c}{a+b+\gamma}\right)^2+ \left(y-\frac{\gamma d}{a+b+\gamma}\right)^2=Z,$$
где $$Z$$ — некоторое постоянное число.
Значит, множество всех точек $$M$$ может быть:
- окружностью, если $$Z>0$$;
- точкой, если $$Z=0$$;
- пустым множеством, если $$Z<0$$.
б) Если $$a+b+\gamma=0,$$ то квадратичные члены исчезают, и остаётся уравнение вида
$$(\,b^2+\gamma c\,)x+\gamma dy+\frac{b^2+\gamma c^2+\gamma d^2-k}{2}=0,$$
то есть уравнение прямой. Возможны также вырожденные случаи:
- если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не равны нулю одновременно, получаем прямую;
- если они равны нулю, а свободный член не равен нулю, решений нет;
- если все коэффициенты равны нулю, то подходит вся плоскость.
Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, пустое множество или вся плоскость.
