Упр.1385 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны три точки А, В, С и три числа а, b, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма аАМ2 + bВМ2 + уСМ2 имеет постоянное значение, если: а) а + b + у=0; б) а + b + у=0.

Подробный ответ

Обозначим координаты точки $$M$$ как $$M(x,y)$$. Выберем систему координат так, чтобы

$$A(0,0),\quad B(b,0),\quad C(c,d).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$BM^2=(x-b)^2+y^2,$$

$$CM^2=(x-c)^2+(y-d)^2.$$

Рассмотрим выражение

$$aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2.$$

После раскрытия скобок получаем

$$ \begin{aligned} aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2 &=a(x^2+y^2)+b\bigl((x-b)^2+y^2\bigr)+\gamma\bigl((x-c)^2+(y-d)^2\bigr)\\ &=(a+b+\gamma)x^2-2(b b+\gamma c)x+(a+b+\gamma)y^2-2\gamma d\,y\\ &\quad +b^2+\gamma c^2+\gamma d^2. \end{aligned} $$

а) Если $$a+b+\gamma\ne 0$$, то дополним до квадратов:

$$ \begin{aligned} &(a+b+\gamma)\left(x-\frac{bb+\gamma c}{a+b+\gamma}\right)^2 +(a+b+\gamma)\left(y-\frac{\gamma d}{a+b+\gamma}\right)^2\\ &=k-\frac{(bb+\gamma c)^2+(\gamma d)^2}{a+b+\gamma}+b^2+\gamma c^2+\gamma d^2. \end{aligned} $$

После переноса постоянных слагаемых получаем уравнение окружности, если правая часть положительна; одну точку, если она равна нулю; и пустое множество, если отрицательна.

б) Если $$a+b+\gamma=0$$, то квадратичные члены исчезают, и остаётся линейное уравнение:

$$ -2(bb+\gamma c)x-2\gamma d\,y+b^2+\gamma c^2+\gamma d^2=k. $$

Это уравнение прямой, если хотя бы один из коэффициентов при $$x$$ и $$y$$ не равен нулю. Если же

$$bb+\gamma c=0,\quad \gamma d=0,$$

то получаем либо пустое множество, либо всю плоскость — в зависимости от того, выполняется ли равенство для свободного члена.