Упр.1383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что:
а) уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
а) Рассмотрим уравнение $$Ax+By+C=0,$$ где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю.
Если $$A=0,$$ то $$B\neq 0$$ и уравнение принимает вид
$$By+C=0,\qquad y=-\frac{C}{B}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Ox$$.
Если $$B=0,$$ то $$A\neq 0$$ и получаем
$$Ax+C=0,\qquad x=-\frac{C}{A}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Oy$$.
Если же $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0,$$ то
$$By=-Ax-C,\qquad y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.$$
Это линейная функция, её график — прямая. Следовательно, уравнение $$Ax+By+C=0$$ при условии, что $$A$$ и $$B$$ не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
б) Рассмотрим уравнение
$$x^2-xy-2=0.$$
Преобразуем его:
$$xy=x^2-2,\qquad y=\frac{x^2-2}{x}.$$
Уравнение окружности имеет вид
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,$$
то есть в нём присутствуют только члены второй степени $$x^2$$ и $$y^2$$, но нет члена вида $$xy$$. В данном уравнении такой член есть, значит, оно не может задавать окружность.
Кроме того, при $$x=0$$ исходное уравнение даёт $$-2=0,$$ то есть точек с $$x=0$$ нет, а значит, прямая $$x=0$$ является вертикальной асимптотой. При больших $$|x|$$ имеем
$$y=\frac{x^2-2}{x}=x-\frac{2}{x},$$
то есть наклонная асимптота $$y=x$$. У окружности асимптот нет, поэтому данная кривая не является окружностью.
Ответ: а) $$Ax+By+C=0$$ — уравнение прямой; б) $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
