Упр.1382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку $$M$$, для которой сумма её расстояний от точек $$A$$ и $$B$$ имеет наименьшее значение: а) $$A(2; 3)$$, $$B(4; -5)$$; б) $$A(-2; 4)$$, $$B(3; 1)$$.

а) Отразим точку $$B(4;-5)$$ относительно оси $$Ox$$. Получим точку $$B'(4;5)$$. Тогда для любой точки $$M$$ на оси $$Ox$$ сумма $$AM+BM$$ равна длине ломаной $$AB’$$, а наименьшее значение достигается, когда $$M$$ — точка пересечения прямой $$AB’$$ с осью $$Ox$$.

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{5-3}$$

Отсюда

$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{2}\quad \Rightarrow \quad x-2=y-3,$$

то есть

$$y=x+1.$$

Так как точка $$M$$ лежит на оси $$Ox$$, то $$y=0$$. Тогда

$$0=x+1 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$

Следовательно, $$M(-1;0)$$.

б) Отразим точку $$B(3;1)$$ относительно оси $$Ox$$. Получим точку $$B'(3;-1)$$. Тогда искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB’$$ с осью $$Ox$$.

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$\frac{x+2}{3+2}=\frac{y-4}{-1-4}$$

Отсюда

$$\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5}\quad \Rightarrow \quad x+2=-(y-4),$$

то есть

$$y=-x+2.$$

Так как $$M$$ лежит на оси $$Ox$$, имеем $$y=0$$. Тогда

$$0=-x+2 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$

Следовательно, $$M(2;0)$$.

Ответ: а) $$M(-1;0)$$; б) $$M(2;0)$$.