Упр.1381 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс $$m_1$$, $$m_2$$ и $$m_3$$, сосредоточенных соответственно в точках $$A_1(x_1; y_1)$$, $$A_2(x_2; y_2)$$, $$A_3(x_3; y_3)$$.

Подробный ответ

Сначала найдём координаты центра тяжести двух масс $$m_1$$ и $$m_2$$, расположенных в точках $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$. Для точки равновесия выполняется:

$$m_1(x-x_1)+m_2(x-x_2)=0,$$

$$m_1(y-y_1)+m_2(y-y_2)=0.$$

Отсюда

$$x_{12}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}, \qquad y_{12}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}.$$

Теперь заменим массы $$m_1$$ и $$m_2$$ одной равнодействующей массой $$m_1+m_2$$, расположенной в точке $$\left(x_{12};y_{12}\right)$$, и рассмотрим её вместе с массой $$m_3$$ в точке $$A_3(x_3;y_3)$$. Тогда для центра тяжести системы получаем:

$$(m_1+m_2)(x-x_{12})+m_3(x-x_3)=0,$$

$$(m_1+m_2)(y-y_{12})+m_3(y-y_3)=0.$$

Подставим найденные значения $$x_{12}$$ и $$y_{12}$$:

$$(m_1+m_2)x-(m_1x_1+m_2x_2)+m_3(x-x_3)=0,$$

$$(m_1+m_2)y-(m_1y_1+m_2y_2)+m_3(y-y_3)=0.$$

После преобразований получаем:

$$(m_1+m_2+m_3)x=m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3,$$

$$(m_1+m_2+m_3)y=m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3.$$

Следовательно, координаты центра тяжести системы трёх масс равны:

$$x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}, \qquad y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}.$$