Упр.1380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.

Расположим точки так: $$A(0;0), \quad C(9;0).$$

Пусть $$B(x;y), \quad y>0.$$ Тогда, так как $$BC=12,$$ имеем

$$(x-9)^2+y^2=144.$$

Так как $$N$$ — середина отрезка $$AC,$$ то

$$N\left(\frac{9}{2};0\right).$$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$BC,$$ то

$$M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right).$$

Условие $$AM \perp BN$$ означает, что их направляющие векторы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0.$$

Векторы:

$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right), \qquad \overrightarrow{BN}=\left(\frac{9}{2}-x;-y\right).$$

Тогда

$$\left(\frac{x+9}{2}\right)\left(\frac{9}{2}-x\right)+\frac{y}{2}\cdot(-y)=0.$$

После преобразований получаем

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$

Теперь решим систему:

$$\begin{cases} (x-9)^2+y^2=144,\\ \left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2=144-\frac{729}{16}.$$

Отсюда

$$x=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(-1-9)^2+y^2=144,$$

$$100+y^2=144,$$

$$y^2=44,$$

$$y=2\sqrt{11}.$$

Значит, $$B(-1;2\sqrt{11}).$$ Тогда

$$AB=\sqrt{(-1)^2+\left(2\sqrt{11}\right)^2}=\sqrt{1+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$

Ответ: $$3\sqrt{5}\text{ см}.$$