Упр.138 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.
2. На рисунке 75 $$AB=CD$$ и $$BD=AC$$. Докажите, что:
   а) $$\angle CAD=\angle ADB$$;
   б) $$\angle BAC=\angle CDB$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$.

В них:

• $$AB=CD$$ — по условию;
• $$BD=AC$$ — по условию;
• $$AD$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по трём сторонам.

Из равенства треугольников получаем:

$$\angle ADB=\angle CAD,$$

$$\angle BAD=\angle CDA.$$

Теперь выразим углы $$\angle BAC$$ и $$\angle CDB$$:

$$\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD,$$

$$\angle CDB=\angle CDA-\angle BDA.$$

Так как $$\angle BAD=\angle CDA$$ и $$\angle CAD=\angle ADB,$$ то

$$\angle BAC=\angle CDB.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\angle CAD=\angle ADB$$; б) $$\angle BAC=\angle CDB$$.