Упр.1378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: (х1; у1), (х2, у2), (х3; у3).

Подробный ответ

Обозначим вершины треугольника через $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3).$$ Центр тяжести однородной треугольной пластинки совпадает с точкой пересечения медиан.

Найдём сначала координаты середины стороны $$BC.$$ Пусть $$A_1$$ — середина $$BC.$$ Тогда

$$ A_1\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right). $$

Точка пересечения медиан $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, на медиане $$AA_1$$ точка $$M$$ делит отрезок в отношении $$AM:MA_1=2:1.$$

По формуле деления отрезка в данном отношении получаем:

$$ x_M=\frac{x_1+2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}}{1+2} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, $$

$$ y_M=\frac{y_1+2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}}{1+2} =\frac{y_1+y_2+y_3}{3}. $$

Следовательно, координаты центра тяжести треугольной пластинки равны

$$ M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right). $$