Упр.1378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: $$(x_1; y_1), (x_2, y_2), (x_3; y_3)$$.

Подробный ответ

Пусть $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3).$$

Обозначим через $$A_1$$ середину стороны $$BC$$. Тогда по формуле координат середины отрезка

$$A_1\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right).$$

Точка пересечения медиан $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, на медиане $$AA_1$$ точка $$M$$ делит отрезок в отношении $$AM:MA_1=2:1$$.

По формуле деления отрезка в данном отношении получаем

$$x_M=\frac{x_1+2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}}{1+2} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3},$$

$$y_M=\frac{y_1+2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}}{1+2} =\frac{y_1+y_2+y_3}{3}.$$

Следовательно, координаты центра тяжести треугольной пластинки равны

$$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$