Упр.1376 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты А(х1;у1), В (х2; у2), С(х3;у3) и D (x4; y4). Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1 + х3 = х2 + х4 и у1 + у3 = у2 + у4.

Докажем оба утверждения.

1) Необходимость. Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны и параллельны, значит, векторно

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Если $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3),\ D(x_4;y_4),$$ то

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1),$$

$$\overrightarrow{DC}=(x_3-x_4;\ y_3-y_4).$$

Из равенства векторов получаем систему:

$$ \begin{cases} x_2-x_1=x_3-x_4,\\ y_2-y_1=y_3-y_4. \end{cases} $$

Переносим слагаемые:

$$ \begin{cases} x_1+x_3=x_2+x_4,\\ y_1+y_3=y_2+y_4. \end{cases} $$

Необходимое условие доказано.

2) Достаточность. Пусть теперь выполнено

$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$

Тогда

$$ \begin{cases} x_2-x_1=x_3-x_4,\\ y_2-y_1=y_3-y_4. \end{cases} $$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Значит, $$AB\parallel DC$$ и $$AB=DC$$. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда $$x_1+x_3=x_2+x_4$$ и $$y_1+y_3=y_2+y_4$$.