Упр.1375 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть $$Н$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника $$ABC$$, а $$О$$ — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка $$G$$ пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку $$НО$$ и делит этот отрезок в отношении $$2:1$$, считая от точки $$Н$$, т. е. $$\frac{HG}{GO}=2$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, а точка $$G$$ — их пересечение.

Рассмотрим векторы с началом в точке $$A_1$$ и $$H$$:

$$\overrightarrow{A_1O}+\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{A_1G},$$

$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}.$$

По свойству точки пересечения медиан треугольника

$$\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{A_1G}.$$

Подставим это в равенство $$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG}$$:

$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{A_1G}=-2\left(\overrightarrow{A_1O}+\overrightarrow{OG}\right).$$

Так как точки $$A_1$$, $$O$$, $$H$$ лежат на одной прямой, то существует число $$x$$ такое, что

$$\overrightarrow{A_1O}=x\overrightarrow{AH}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2x+1)\overrightarrow{AH}.$$

Аналогично, из рассмотрения медианы $$BB_1$$ получаем

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2m+1)\overrightarrow{BH}$$

для некоторого числа $$m$$, то есть этот же вектор коллинеарен и $$\overrightarrow{BH}$$.

Следовательно, вектор $$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}$$ коллинеарен и $$\overrightarrow{AH}$$, и $$\overrightarrow{BH}$$. Но прямые $$AH$$ и $$BH$$ не совпадают, значит, этот вектор равен нулю:

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=\vec 0.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{OG}.$$

Значит, точки $$H,\;G,\;O$$ лежат на одной прямой, причём

$$HG=2\cdot GO,$$

то есть

$$\frac{HG}{GO}=2.$$

Ответ: $$G\in OH,\quad \frac{HG}{GO}=2.$$